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第3章从阿基米德公理开始引入了序数n证明无理数（第1页）

稠密性应该是这个若a>b则肯定存在一个数字c使得a>c，且c>b

若在直线上给定的任意两段线段a和b，则a重复相加若干次后，其和总可以大于b

a*n>b

这就是n的出现的理由了，接下来解释解释

这个的a和b不要看成平常的数字，要看做一个向量，这样导入的就是矩阵，a*｜n｜>b，这样乘法就成了累加的形式，而n的存在就是序数而不再是一个向量了，是纬度上的具体的一个点，而不是一个带着方向的数字，当然在一维的时候，看不出来什么区别，只是区别一直都在。

n>ba，这个是不是很让人熟悉，

这个时候公式的含义就成了有理数的边界之外站着的就是n，可能n还是有理数的一个边界以及大于这个边界的数字

引入一下笛卡尔坐标，要不然数值和方向不怎么好说，

所以n>ba就定义了n，就是一个点，居于有理数ba的类似普朗克常量的段的外面，而且是正方向的，而n也可以说是边界，或者说有限性的出现。

接下来就说一下戴德金分割

这是非常复杂并且扯犊子一样烧脑子的证明过程

对于实数域内的任意分划a|a，必有产生这样分划的实数B的存在这个B或是下组a内的最大值或是上组a内的最小值，因为还没有证明无理数，所以只能先用有理数来进行证明。

将下组中的有理数重新标成a，将上组中的有理数重新标成a，所以对于任意的有理数B只能在a和a之中二选一的存在，对于a中的任意一个数字a一定小于a中的a。

接下来就开始进行假设所有满足不等式a=1的有理数归于a。所以可以有最小值1在最小值1和a之间取的值都大于a，所以a中没有最大值

同样也可以证明满足不等式a==1可以得到a中没有最小值

第三个假设a的平方2的一切有理数a，可以在没有最大值在下组和没有最小值在上组的情况下成立，

这个可以用a+1n来进行证明，没有最大的最小的有理数作为边界，所以第三个假设就出现了一个问题，没有边界怎么就能进行划分呢，但是2的开方又存在所以一定是存在一个数字的，但是这个数字不是有有理数规定，这样就证明了无理数的出现，有理数无理数的出现又一个数学分析的基本概念被建立起来了。

已经建立实数后稠密性也要进一步开始扩展数的范围，得扩展到实数领域，

接下来是大于小于等于的定义，是从个数到范围的变化，一开始只是a是a｜a的划分的数便算作a>a中的一切有理数，到了实数的时候，则是有较大下组的分界数字的那个是大于的，可以包含较小下组的那个是较大数，因为之前分界数是无理数的时候这个说法无法使用，，所以只能在实数建立之后这样说

而稠密性只是在有理数，进一步则是在两个实数之间必定存在着有理数，，为啥说是更近一步呢，借用量子物理不可分割最小的普朗克的思路，之前的稠密性起码会有三个普朗克常量的数才能有稠密性的存在，而普朗克的段或者边界作为无理数，而用无理数作为边界的时候只需要一个普朗克常量的东西了，起码的利用率就翻了至少三倍，所以无论怎样的两个实数a，b之间恒有一个有理数的存在，这个说法成为更严格的稠密性的说法。